понедельник, 29 декабря 2008
Как три вектора один детерминант в нуль обратили
В некотором пространстве, к некотором подпространстве жило-было-задано нормализованное удобопорядоченное семейство векторов – i1, i2, i3. Не было у них ни собственных чисел, ни собственных значений, жили в чем мать родила. Из периода в период, от минус пи до пи гнули братья спины на базис богатого Симплекса-эксплуататора и тунеядца, который всю жизнь свою прожил по принципу наименьшего действия.
И невзлюбил их сын Симплекса Комплекс. Вытворяет над ними свои комплексные штучки: то одну координату отобьет, то другую.
«Не будет нам житья от этого Комплекса, - решили братья. – Нет на него никаких ограничений». И задумали они обойти все пространства и все подпространства, все оболочки и многообразия, а найти правую систему координат. Вышли в чисто потенциальное поле и пошли с шагом эн-пополам куда глаза глядят Пи идут, два пи идут, три пи идут. Стали уже попадаться изоклины. Глянули братья – прямо перед ними блестит голубым разрезом на ровной комплексной плоскости струйное течение. Не простое течение – с кавитацией. «А не половить ли нам рыбки?» - молвил i1. «Отчего же нет?» - сказали братья. Забросили они с верхнего берега свою видавшую виды ортогональную сеть. Смотрят – в сети Сигма-рыба бьется, человеческим голосом разговаривает: «Не губите меня, добры молодцы, я вам еще пригожусь». Выпустили братья ее на волю и дальше пошли. Как идут две параллели,
Да не сходятся,
Как стоят два перпендикуляра,
Да не наклонятся.
(Старинная песня)
В некотором пространстве, к некотором подпространстве жило-было-задано нормализованное удобопорядоченное семейство векторов – i1, i2, i3. Не было у них ни собственных чисел, ни собственных значений, жили в чем мать родила. Из периода в период, от минус пи до пи гнули братья спины на базис богатого Симплекса-эксплуататора и тунеядца, который всю жизнь свою прожил по принципу наименьшего действия.
И невзлюбил их сын Симплекса Комплекс. Вытворяет над ними свои комплексные штучки: то одну координату отобьет, то другую.
«Не будет нам житья от этого Комплекса, - решили братья. – Нет на него никаких ограничений». И задумали они обойти все пространства и все подпространства, все оболочки и многообразия, а найти правую систему координат. Вышли в чисто потенциальное поле и пошли с шагом эн-пополам куда глаза глядят Пи идут, два пи идут, три пи идут. Стали уже попадаться изоклины. Глянули братья – прямо перед ними блестит голубым разрезом на ровной комплексной плоскости струйное течение. Не простое течение – с кавитацией. «А не половить ли нам рыбки?» - молвил i1. «Отчего же нет?» - сказали братья. Забросили они с верхнего берега свою видавшую виды ортогональную сеть. Смотрят – в сети Сигма-рыба бьется, человеческим голосом разговаривает: «Не губите меня, добры молодцы, я вам еще пригожусь». Выпустили братья ее на волю и дальше пошли.
Долго ли коротко ли шли – больше нуля, меньше бесконечности – смотрят: стоит при дороге малый параметр, от голова плачет. Пожалели его братья, накормили ядрами в свертку, угостили и повторными. Стал тут параметр на глазах расти, а когда достиг экстремальной величины, поблагодарил братьев, сказал: «Я еще вам пригожусь». Да и пропал, будто и не было его вовсе.
Потемнело тут небо, исчезло солнышко. Понеслись по дороге листья Мебиуса, закрутились в воздухе уединенные вихри; огненные разрезы молний раскололи небесную сферу, оглянулись братья, глядь – при Римана-дороге избушка на курьих ножках. «Избушка, избушка, повернись к нам плюсом , к лесу минусом». Переминалась избушка с ноги на ногу, повернулась. Вошли в нее векторы и возрадовались. Стоит в избушке стол, всякими яствами уставлен. Вошли братья, спросили: «Есть тут кто? Отзовись!» Смотрят – из-под печки вылазит не то вектор, не то скаляр, дробной цепью закованный. «Привет вам, благородные векторы! Я добрый волшебник Ади Аба Ата Каши Мак Лоран. Вот уже пол жизни я сижу здесь под стражей злой Наблы-Яги за отрицание разнозначности…» Не успел он договорить – зашумело, засвистело вокруг. «Бежим!» - закричал Мак Лоран. Расковали его братья, и пустились все вместе наутек. Оглянулись и видят – летит по небу прекрасная Дельта. Ударилась Дельта оземь, стала на голову и обратилась в страшную Наблу-Ягу. «Чую, чую, векторным духом пахнет!» А векторов тех уж и след простыл.
Вывел Ади Аба Ата братьев на геодезическую линию, указал дорогу на divgrad, что означает дивный город, а сам пошел своим путем.
… и выросли перед братьями стены града великого, подобно тому, как возрастает график тангенса с аргументом близким к пи-пополам. И расходилось от него сияние лучистое подобно тому, как расходятся частные суммы гармонического ряда.
Зашли братья в харчевню «Y с волной», разговорились с хозяйкой, толстой дородной Тильдой. И рассказала она им о великом несчастье, постигшем их город. Устроил как-то правитель Дивграда великий Тензор Четвертый инвариантный бал по случаю совершеннолетия своей дочери, красавицы Резольвенты. Такого бала еще не было в его области определения. Приехал на бал граф X в самосопряженной коляске, прибыл князь Синус со своей Синусоидой. Дивные звуки Ка-мерной музыки, исполнявшейся хором высших гармоник в сопровождении ударных поляр, услаждали слух. Весь зал кружился в танце «Па dt». Вдруг погас свет , заметались по стенам фигуры Лиссажу, переполошились гости. А когда починили пробки, красавицы Резольвенты и след простыл. Как показало следствие из теоремы о монодрамии, ее похитил злой волшебник Вандермонд. Он проник на бал, нарушив условия Деламтера-Эйлера и совершив подстановку в рядах стражи.
Крепко запал в душу братьям рассказ Тильды. И решили они померяться силами со злым Вандермондом, вызволить из его рук красавицу Резольвенту. Отправились они в торговые ряды Тейлора, снаярдились, погадали на годографе и тронулись в путь.
Скоро сказка сказывается, да не скоро дело делается. Тяжелые граничные условия не позволили векторам пройти в соседнюю накрест лежащую область, населенную псевдовекторами, где господствовало классовое неравенство Коши-Буняковского. И по огибающей вышли они к точке ветвления, на которой было написано: «Направо пойдешь – в бесконечность уйдешь. Налево пойдешь – координат не соберешь. Прямо пойдешь – транспонируешься.» Задумались братья. Вдруг откуда ни возьмись – старый знакомый Ади Аба Ата Каши Мак Лоран. «Знаю, братья, я вашу думу. Тяжелое дело вы замыслили. Трудно одолеть Ваденмонда. Смерть его заключена в детерминанте. А детерминант тот находится в додекаэдре. А додекаэдр лежит в икосаэдре. А икосаэдр тот привязан крепко-накрепко к корням полинома Лежандра, первый узел – простой, второй - морской , третий – логарифмический. А полином тот растет в изолированной точке и добраться до нее нелегко. Лежит она за 3+ 9 земель в пространстве хана Банаха. И охраняют ее чудище с трансцендентным числом ног по кличке Декремент. Тот детерминант надо достать и приравнять к нулю».
Показал им Ади Аба Ата дорогу, и вышли по ней братья к границам непустого множества, заполненного несжимаемой жидкостью. Стоят, гадают, как им быть не знают. Вдруг откуда ни возьмись - Сигма-рыба. «Вот и пригодилась я вам, добры молодцы!» Перевезла их всех, объяснила дорогу дальше.
Не успели братья и двух периодов пройти, преградил им путь разрыв второго рода. Опечалились векторы. Да предстал пред ними малый параметр. «Вот и пригодился я вам, браться!» Ударился оземь, разложился по своим степеням, и перешли браться на другую сторону. «А теперь, - говорит им параметр, - идите по следам матриц, прямо до изолированной точки.»
Отыскали браться следы, смотрят – расходятся они на три стороны. Отправились они каждый по своему направлению. Шел-шел i1 – вдруг как из-под земли выросли перед ним неисчислимые орды хана Банаха, все кроме, быть может, одного, одетые жорданову форму, подстриженные под скобку Пуассона. «Эх, - опечалился вектор, - нет со мной моих любимый братьев! Да ничего, i первый в поле воин! » - и бесстрашно бросился на врагов. А тут и братья подоспели. Одолели супостата.
Вдруг задрожало все вокруг, зарезонировало. Разверзлась земля, и появилось перед векторами чудище Декремент. Не растерялись братья, накинули на него веревочный многоугольник. Запуталось в нем чудище. Издохло.
Нашли братья полином, разрыли корни, разрубили узлы, открыли икосаэдр, достали додекаэдр, извлекли детерминант… Да и приравняли его к нулю.
Тут и пришел конец Вандермонду. И появилась перед братьями красавица Резольвента, живая и невредимая.
… что и требовалось доказать.
Примечание 1. Сказка написана для случая n0=3. Пользуясь методом полной математической индукции, читатель без труда обобщит ее на случай для всех n > n0.
Примечание 2. Обратное, вообще говоря, неверно.
@темы:
Жизненное,
Мысли вслух,
Настроение